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撓度計算公式的基本推導

時間 : 2024-12-18     

     隨著科學技術的進步以及建筑設計的發展,力學建筑不僅堅固,而且給人一種踏實舒服的感覺,那么一些工程建設就需要精確的科學計算之后,然后才開始進行工程的開發,下面小編就為大家簡單的敘述一下撓度計算公式,以幫助一些建筑的設計完成。

撓度計算公式

第一步:

  1. 荷載的力作用在跨中時撓度的計算方式是:fmax=(P·L3)/(48×E·I)

  2. 荷載作用在任意一點時撓度的計算方式:fmax={P·L1·L2(L+L2)·[3×L1·(L+L2)]1/2}/(27×E·I·L)。

也就是說這兩種情況我們如果進行分析的話,我們會發現集中荷載作用在任意一點時,也就是說任意一點可以是中點,那么上面的?式就會包含?式,而?式知識撓度公式中的一個特例,當然也就是L1=L2= L/2這種情況。那么我們就可以這樣思考了,將L1=L2= L/2代入?式中,max={P·L1·L2(L+L2)·[3×L1·(L+L2)]1/2}/(27×E·I·L)。

     ={P·L/2·L/2(L+L/2)·[3×L/2·(L+L/2)]1/2}/(27×E·I·L)

={P·L2/4·(3L/2)·[9×L2/4]1/2}/(27×E·I·L)

={P·(3L2/8)·[3×L/2] }/(27×E·I)

=  P·(9L3/16)/(27×E·I)

=(P·L3)/(48×E·I)

這樣也就驗算了以上的思想了。

第二步:

簡單的推導過程:

我們以簡支梁來為例:全粱應將其分為兩段

對于梁的左段來說,則當0≤X1≤L1時,其彎矩方程可以表示為:

Mx1=(P·L2/L)·X;設f1為梁左段的撓度,則由材料力學。

E·I·f1//=(P·L2/L)·X

積分得E·I·f1/=(P·L2/L)·X2/2+C1   ?

二次積分:E·I·f1=(P·L2/L)·X3/6+C1X+D1   ?

因為X1等于零時:

簡支梁的撓度f1等于零(邊界條件)

將X1=0代入(2)得D1=0

而對于梁的右段,即當L1≤X2≤L時,其彎矩方程可以表現為:

MX2=(P·L2/L)·X-P·(X-L1);

設f2為梁右段的撓度,則由材料力學

E·I·f2//=(P·L2/L)·X-P·(X-L1)

積分得E·I·f2/=(P·L2/L)·X2/2-[P(X-L1)2/2]+C2      ?

二次積分:E·I·f2=[(P·L2/L)·X3/6]-[P·(X-L1)3/6]+C2X+D2   

將左右段連接,則可以

①在X=0處,f1=0;

②在X=L1處,f1/= f2/(f1/、 f2/為撓曲線的傾角);

③在X=L1處,f1= f2;

④在X=L處,f2=0;

由以上四條件求得(過程略):C1= C2= -[(P·L2)/6 L]·(L2-L22);D1=D2=0。

代入公式?、?、?、整理即得:

對于左段   0≤X≤L1

E·I·f1/=(P·L2/L)·X2/2+C1            (1)

          = P·L2/6L ·[3X2-(L2-L22)]          (5)

E·I·f1=(P·L2/L)·X3/6+C1X+D1          (2)

= (P·L2/6×L)·[X3-X(L2-L22)]               (6)

對于右段  L1≤X≤L

E·I·f2/=(P·L2/L)·X2/2-[P·(X-L2)2/2]+C2         (3)

= (P·L2/6×L)·[3X2-(L2-L22)]-[ P/2·(X-L1)2]        (7)

E·I·f2=[(P·L2/L)·X3/6]-[P·(X-L1)3/6]+C2X+D2         (4)

= (P·L2/6L)·[X3-X(L2-L22)] -[P/6·(X-L1)3]          (8)

等一一對應的過程式。

第三步:按以上基礎繼續進行:

     若L1>L2,則最大撓度顯然在左段內,命左段的傾角方程(5)f /等于零,即得最大撓度所在之位置,于是

P·L2 /6L·[3X2-(L2-L22)] =0

則:3X2-(L2-L22)= 0

得:X=[(L2-L22)/3]1/2                        (9)

將(9)式代入(6)式即得最大撓度

fmax= -[P·L2·(L2-L22)3/2]/ [9×31/2×L·E·I]                  (10)

展開即得:

fmax=-{(P·L1·L2·(L+L2)·[3×L1·(L+L2)]1/2)}/(27×E·I·L)。

  這就是公式的推導過程,對于非專業人士可能不會十分清楚,小編這樣希望給專業人士一個幫助性的指引,希望有關人士可以在建筑上能夠得以應用。以上就是有關撓度計算公式的內容,希望能對大家有所幫助!

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